Đề bài

Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.$162$). Chứng minh sáu tam giác: $1,2,3,4,5,6$ có diện tích bằng nhau. 

Lời giải chi tiết

Theo tính chất của trung tuyến, suy ra:

$S_1=S_2$ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (1)
$S_3=S_4$ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (2)
$S_5=S_6$ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (3)

Lại có: $S_1+S_2+S_3=S_4+S_5+S_6(=\frac{1}{2}{S}_{ABC})$ (4)
Kết hợp (4) với (1), (2), (3) suy ra $S_1+S_1+S_3=S_4+S_6+S_6$
$$\begin{gathered} \Rightarrow 2S_1+S_3=S_4+2S_6 \\ \Rightarrow 2S_1=2S_6(do{S}_3=S_4)\mathrm{\&} \\ \Rightarrow S_1=S_6\left(4^{\text{'}}\right) \\ Và S_1+S_2+S_6=S_3+S_4+S_5(=\frac{1}{2}{S}_{ABC}) \left(5\right) \end{gathered}$$

Kết hợp (5) với (1), (2), (3) suy ra
$S_2+S_2+S_6=S_3+S_3+S_5$
$\Rightarrow 2S_2+S_6=2S_3+S_5$
$\Rightarrow 2S_2=2S_3$ (do $S_6=S_5$)
$\Rightarrow S_2=S_3\left(5^{\text{'}}\right)$
Từ' $\left(4^{\text{'}}\right)$, (5') và kết hợp với (1),(2),(3) ta có :
$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6$
Hay 6 tam giác có diện tích bằng nhau.