Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$ có tâm đối xứng $O$, cạnh $a$ Một góc vuông $x\mathrm{Oy}$ có tia $Ox$ cắt cạnh $AB$ tại $E$, tia $Oy$ cắt cạnh $B$ tại $F$ (h.$161$)

Tính diện tích tứ giác $OEBF.$
Lời giải chi tiết

Nối OA, OB.
Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và $\widehat{AOB}={90}^{\circ }$
Ta có: $\widehat{AOE}+\widehat{BOE}=\widehat{AOB}={90}^0$
$\widehat{FOB}+\widehat{EOB}=\widehat{xOy}={90}^0$
Nên $\widehat{AOE}=\widehat{BOF}$ (cùng phụ với $\widehat{BOE}$)
Xét $\mathrm{△}AOE$ và $\mathrm{△}BOF$ có:
+) $\widehat{AOE}=\widehat{BOF}$ (chứng minh trên)
+) OA=OB (O là tâm đối xứng của hình vuông)
+) $\widehat{OAE}=\widehat{OBF}={45}^0$ (tính chất hình vuông)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOE=\mathrm{\Delta }BOF(g,c,g)$
$\Rightarrow S_{AOE}=S_{BOF}$
Do đó $S_{OEBF}=S_{OEB}+S_{OBF}=S_{OEB}+S_{OAE}=S_{OAB}$
$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}AC\cdot \frac{1}{2}BD$
$=\frac{1}{4}\cdot (\frac{1}{2}AC.BD)=\frac{1}{4}{S}_{ABCD}$
Vậy $S_{OEBF}=\frac{1}{4}{S}_{ABCD}=\frac{1}{4}{a}^2$