Chứng minh các đẳng thức sau:

$a) {(a-b)}^3=-{(b-a)}^3;$

$b) {(-a-b)}^2={(a+b)}^2;$

Giải:

$a) {(a-b)}^3=-{(b-a)}^3$

Biến đổi vế phải thành vế trái:

$$\begin{gathered} -{(b-a)}^3=-(b^3-3b^{2}a+3b{a}^2-a^3) \\ =-b^3+3b^{2}a-3b{a}^2+a^3 \\ =a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3={(a-b)}^3 \end{gathered}$$

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

${(a – b)}^3= {\left[\right(-1\left)\right(b – a\left)\right]}^3 = (-1{)}^3{(b – a)}^3 = -1^3 . {(b – a)}^3=-{(b – a)}^3$

$b) {(-a-b)}^2={(a+b)}^2$

Biến đổi vế trái thành vế phải:

$$\begin{gathered} {(-a-b)}^2 \\ ={\left[\right(-a)+(-b\left)\right]}^2 \\ =(-a{)}^2+2.(-a).(-b)+{(-b)}^2 \\ =a^2+2ab+b^2 \\ ={(a+b)}^2 \end{gathered}$$

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

${(-a – b)}^2 = {\left[\right(-1) . (a + b\left)\right]}^2 = (-1{)}^2 . {(a + b)}^2 = 1 . {(a + b)}^2={(a + b)}^2$