Luyện tập 2 (Trang 81 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

a) Kẻ đường trung trực của BC, cắt BC tại M

Do tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow$ AB = AC

$\Rightarrow$A thuộc đường trung trực của cạnh BC (tính chất)

$\Rightarrow$AM là đường trung trực BC

Xét $∆ABM và ∆ACM$, có:

AB = AC (gt)

BM = CM (gt)

AM là cạnh chung

$\Rightarrow ∆ABM = ∆ACM$(c - c - c)

$\Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{CAM}$

$\Rightarrow$AM là tia phân giác góc BAC.

Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b)

Ta có: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA

Tam giác ABC cân tại A có AP là đường trung tuyến

$\Rightarrow AP$ là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (cm ở ý a)

Tương tự: BN, CM lần lượt là đường phân giác xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Mà $AP \cap BN = O$

$\Rightarrow$O là giao điểm của ba đường phân giác của $∆ ABC$

$\Rightarrow$O cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất)

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.