Bài 9.28 (Trang 81 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Giả sử O nằm trên cạnh BC.

Vì:

+ OA = OB $\Rightarrow$∆OAB cân tại O$\Rightarrow \widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ 

+ OA = OC $\Rightarrow OAC$ cân tại O $\Rightarrow$ $\widehat{OAC} = \widehat{OCA}$

$\Rightarrow \widehat{OAB} + \widehat{OAC} = \widehat{OBA} + \widehat{OCA}$

Hay $\widehat{BAC} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}$

Xét $∆ABC: \widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°$

$$\begin{gathered} hay 2\widehat{BAC} = 180° \\ \iff \widehat{BAC} = 90° \end{gathered}$$

Do đó ∆ABC vuông tại A.

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.