1. Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc $O$, đôi một vuông góc với nhau $x\text{'}Ox; y\text{'}Oy; z\text{'}Oz$. Hệ ba

trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc $Oxyz$; $O$ là gốc tọa tọa độ. Giả sử $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ 

lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $x\text{'}Ox, y\text{'}Oy, z\text{'}Oz$ (h. 52)

Với điểm $M$ thuộc không gian $Oxyz$ thì tồn tại duy nhất bộ số $\left(x; y; z\right)$ để $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k},$ bộ $\left(x;\right)$

$\left( y;<br>z\right)$ được gọi là tọa độ của điểm $M\left(x; y;z\right)$.

Trong không gian Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{a}$, khi đó $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$

Ta viết $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và nói $\overrightarrow{a}$ có tọa độ $\left(a_1;a_2;a_3\right)$ .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ thì:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1; a_2+b_2; a_3+b_3\right).$

3. Tích vô hướng

Cho và $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ thì tích vô hướng$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+ a_2.b_2+ a_3.b_3$

Ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.$

Đặt $\phi =\left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right), 0⩽\phi ⩽180°$ thì 

$\cos \phi =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$(với $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}, \overrightarrow{b} \ne \overrightarrow{0}$)
4. Phương trình mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $I\left(a; b; c\right)$ bán kính $R$ có phương trình chính tắc 

              ${\left(x-a\right)}^2 + {\left(y-b\right)}^2 + {\left(z-c\right)}^2 = R^2$

Mặt cầu có phương trình tổng quát 

$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$

 có tâm $I\left(-a;-b;-c\right)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$