Xét hình phẳng D giới hạn bởi $y=2\sqrt{1-x^2}và y=2(1-x)$.

a) Tính diện tích hình D.

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
Hướng dẫn trả lời

Ta có: $y=2\sqrt{1-x^2}\iff \left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$

 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:

 $$\begin{gathered} 2\sqrt{1-x^2}=2(1-x) \iff \sqrt{1-x^2}=1-x \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le 1\\ 1-x^2={(1-x)}^2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 1\\ x^2-x=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}\right.\right.\right. \end{gathered}$$

a) Diện tích hình D là:

  $S={\int }_0^1\left[2\sqrt{1-x^2}-2(1-x)\right]dx=2{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx+(-2x+x^2){|}_0^1=2{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx-1$

 Đặt $x=\sin t \Rightarrow dx=\cos tdt$

 Suy ra: $$\begin{gathered} S=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt-1={\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}(1+\cos 2t)dt-1 \\ = (t+\frac{1}{2}\sin 2t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}-1=\frac{\pi }{2}-1 \end{gathered}$$

b) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

          $V=\pi {\int }_0^1\left[4(1-x^2)-4{(1-x)}^2\right]dx=4\pi {\int }_0^1(2x-2x^2)dx=4\pi (x^2-\frac{2}{3}{x}^3){|}_0^1=\frac{4\pi }{3}.$