Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 26 SGK Toán Hình học 12)

Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tự diện CDEF theo a.  Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/21022022/hinh-27-7KvHcu.png" /> Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="" close="}"><mtable columnalign="right"><mtr><mtd><mi>B</mi><mi>A</mi><mo>⊥</mo><mi>C</mi><mi>D</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>B</mi><mi>A</mi><mo>⊥</mo><mi>C</mi><mi>A</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>A</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>A</mi><mi>D</mi><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>A</mi><mo>⊥</mo><mi>C</mi><mi>E</mi></math> Mặt khác <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>⊥</mo><mi>C</mi><mi>E</mi></math> Từ đó suy ra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mi>E</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mi>C</mi><mi>E</mi><mo>⊥</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>C</mi><mi>E</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>D</mi></math> Vì tam giác ACD vuông cân  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></math>, nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mi>E</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>,</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> Trong tam giác vuông BCD ta có CF,BD=CB.CD(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>2</mn><msub><mi>S</mi><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow></msub></math>) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>C</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi><mo>.</mo><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>D</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>.</mo><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msqrt></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>C</mi><msup><mi>F</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>C</mi><msup><mi>E</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow><mn>6</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>D</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>C</mi><msup><mi>F</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> Diện tích tam giác CEF là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>C</mi><mi>E</mi><mi>F</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>E</mi><mi>C</mi><mo>.</mo><mi>E</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>12</mn></mfrac></math> Thể tích khối tứ diện DCEF là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>V</mi><mrow><mi>D</mi><mi>C</mi><mi>E</mi><mi>F</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>D</mi><mi>F</mi><mo>.</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>C</mi><mi>E</mi><mi>F</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mn>36</mn></mfrac></math>