Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy

điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tự

diện CDEF theo a. 

Giải

Ta có: $\left.\begin{array}{r}BA\perp CD\\ BA\perp CA\end{array}\right\}\Rightarrow BA\perp \left(ADC\right)\Rightarrow BA\perp CE$

Mặt khác $BD\perp \left(CEF\right)\Rightarrow BD\perp CE$

Từ đó suy ra $CE\perp \left(ABD\right)\Rightarrow CE\perp EF, CE\perp AD$

Vì tam giác ACD vuông cân 

$CA=CD=a$, nên $CE=\frac{AD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có $BC=a\sqrt{2}, BD=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$

Trong tam giác vuông BCD ta có CF,BD=CB.CD($=2S_{BCD}$)

$\Rightarrow CF=\frac{CB.CD}{BD}=\frac{a\sqrt{2}.a}{2\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$

$\Rightarrow EF=\sqrt{C{F}^2-C{E}^2}=\sqrt{\frac{2}{3}{a}^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

$DF=\sqrt{D{C}^2-C{F}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Diện tích tam giác CEF là $S_{CEF}=\frac{1}{2}EC.EF=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

Thể tích khối tứ diện DCEF là $V_{DCEF}=\frac{1}{3}DF.S_{CEF}=\frac{a^3}{36}$