Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 25 SGK Toán Hình học 12)

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.  Giải  <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/21022022/hinh-23-Fe1VLq.png" /> Cho tứ diện đều ABCD. Hạ đường cao AH của tứ diện, do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB,HC,HD bằng nhau. Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD. BI là đường cao tam giác đều cạnh a nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math>. Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>B</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> Trong tam giác vuông ABH ta có:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><msup><mi>H</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>B</mi><msup><mi>H</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mfenced><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msqrt></math> Diện tích tam giác BCD: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac></math> Thể tích tứ diện là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>h</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>a</mi><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mo>.</mo><mfrac><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mn>12</mn></mfrac></math>