Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 25 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' khác với S. Chứng minh rằng  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math> Giải  <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/21022022/hinh-26-QQD54i.png" /> Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu của A và A' trên mp(SBC). Khi đó S, H, H' thẳng hàng (vì chúng là hình chiếu của ba điểm thẳng hàng S, A, A' trên mp(SBC)). Vì A'H' // AH nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>H</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>H</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac></math> Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>sin</mi><mfenced><mover><mrow><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mo>^</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>.</mo><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>B</mi><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math> Suy ra: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>.</mo><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>H</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle><mo> </mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>H</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>