Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' khác với S. Chứng minh rằng 

$\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

Giải 

Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu của A và A' trên mp(SBC). Khi đó S, H, H' thẳng hàng (vì chúng là hình

chiếu của ba điểm thẳng hàng S, A, A' trên mp(SBC)).

Vì A'H' // AH nên $\frac{A\text{'}H\text{'}}{AH}=\frac{SA\text{'}}{SA}$

Ta có: $\frac{S_{SB\text{'}C\text{'}}}{S_{SBC}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}SB\text{'}.SC\text{'}.\sin \left(\widehat{B\text{'}SC\text{'}}\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}SB.SC.\sin \left(BSC\right)}=\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

Suy ra: $\frac{S_{SA\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{S_{S.ABC}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{SB\text{'}C\text{'}}.A\text{'}H\text{'}}{{\displaystyle \frac{1}{3}} S_{SBC}.AH}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$