Câu hỏi: Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) $y = 2x^3 +3x^2-36x -10$

b) $y = x^4 +2x^2 -3$

c) $y = x + \frac{1}{x}$

d) $y = x^3{\left(1-x\right)}^2$

e) $y = \sqrt{x^2 - x +1}$

Hướng dẫn Giải:

a) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} = 6x^2 +6x - 36 \\ y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x = 2 \left(y = -54\right)\\ x = -3 \left(y = 71\right)\end{array} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3 và  $y_{CD} = 71$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và $y_{CT} = -54$

b) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} =4x^3 +4x = 4x\left(x^2+1\right) \\ y\text{'} = 0 \iff x = 0 \left(y = -3\right) \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số có điểm cực tiểu tại x = 0 và $y_{CT} = -3$

c) TXD: D = R \ {0}

$$\begin{gathered} y\text{'} = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \\ y\text{'} = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff [\begin{array}{l}x = 1 \left(y = 2\right)\\ x = -1 \left(y = -2\right)\end{array} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, $y_{CĐ }= -2$

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, $y_{CT} = 2$

d) TXD: D = R 

$$\begin{gathered} y\text{'} = 3x^2{\left(1-x\right)}^2 -2x^3\left(1-x\right) = x^2\left(1-x\right)\left(3-5x\right) \\ y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x =1 \left(y = 0\right)\\ x =\frac{3}{5} \left(y = \frac{108}{3125}\right)\\ x = 0\end{array} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = $\frac{3}{5}, y_{CĐ} = \frac{108}{3125}$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, $y_{CT} = 0$

e) Vì $x^2 - x + 1>0,\forall x \in R$ nên tập TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} = \frac{2x -1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} \\ y\text{'} = 0 \iff x = \frac{1}{2} \left(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = $\frac{1}{2}, y_{CT} = \frac{\sqrt{3}}{2}$