Câu hỏi: Xác định giá trị của tham số m để hàm số. $y = \frac{x^2 +mx + 1}{x + m }$ đạt cực đại tại x = 2 

Hướng dẫn Giải:

Cách 1. $y\text{'} = \frac{x^2+2mx +m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}$

Nếu y đạt cực đại tại x = 2  thì y'(2) = 0. $\iff m^2 +4m + 3 = 0 \iff m = -1 \vee m = -3$

Với m =-1 ta có: $y\text{'} =\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}; y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x = 0\\ x = 2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Khi m =-1 hàm số không đạt cực đại tại x = 2

Với m = -3 ta có: $y\text{'} = \frac{x^2 -6x + 8}{{\left(x-3\right)}^2}; y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x =2\\ x = 4\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x =2

Cách 2: Ta có thể sử dụng dấu hiệu II

• y đạt cực đại tai x = 2$\Rightarrow y\text{'}\left(2\right) = 0 \iff [\begin{array}{l}m =-1\\ m = -3\end{array}$
• $y\text{'}\text{'}= \frac{2}{{\left(x+m\right)}^3}$
• m =-1 $\Rightarrow$y''(2) = 2  >0 $\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 $\Rightarrow$Loại
• m =-3 $\Rightarrow$y''(2) = -2 <0 $\Rightarrow$Hàm số đạt cực đại tại x = 2 $\Rightarrow$ Nhận

Vậy m = -3 thoả yêu cần bài toán