Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)

Câu hỏi: Xác định giá trị của tham số m để hàm số. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mi>m</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo> </mo></mrow></mfrac></math> đạt cực đại tại x = 2  Hướng dẫn Giải: Cách 1. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mfrac></math> Nếu y đạt cực đại tại x = 2  thì y'(2) = 0. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mo> </mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>m</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mi>m</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>∨</mo><mi>m</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>3</mn></math> Với m =-1 ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></math> Bảng biến thiên:    <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/anh-chup-man-hinh-2022-02-18-luc-141722-y295cd.png" width="532" height="121" /> Khi m =-1 hàm số không đạt cực đại tại x = 2 Với m = -3 ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>8</mn></mrow><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></math> Bảng biến thiên: <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/anh-chup-man-hinh-2022-02-18-luc-141932-N6MJJs.png" width="608" height="130" /> Vậy m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x =2 Cách 2: Ta có thể sử dụng dấu hiệu II <ul> <li>y đạt cực đại tai x = 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>m</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>m</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></math></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>2</mn><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup></mfrac></math></li> <li>m =-1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math>y''(2) = 2  >0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math>Loại</li> <li>m =-3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math>y''(2) = -2 <0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math>Hàm số đạt cực đại tại x = 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> Nhận</li> </ul> Vậy m = -3 thoả yêu cần bài toán