Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)

Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mfenced open="|" close="|"><mi>x</mi></mfenced></msqrt></math> không có đạo hàm tại x = 0  nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó Hướng dẫn Giải: TXD: D = R. Đặt f(x) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mfenced open="|" close="|"><mi>x</mi></mfenced></msqrt></math> Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mo> </mo><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mfrac><msqrt><mi>x</mi></msqrt><mi>x</mi></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msqrt><mi>x</mi></msqrt><mo>;</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msqrt><mo>-</mo><mi>x</mi></msqrt><mo>;</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo><</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>⇒</mo><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>x</mi></msqrt></mrow></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo><</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>⇒</mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo><</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math> Bảng biến thiên: <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/anh-chup-man-hinh-2022-02-18-luc-134934-7i9jcc.png" width="501" height="123" /> Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0