Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số $y = \sqrt{\left|x\right|}$ không có đạo hàm tại x = 0  nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

Hướng dẫn Giải:

TXD: D = R. Đặt f(x) = $\sqrt{\left|x\right|}$

Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{f\left(x\right) - f\left(0\right)}{x} = \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x} = \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 

$y = \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}; x\ge 0\\ \sqrt{-x}; x<0\end{array}\right.\Rightarrow y\text{'} = \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2\sqrt{x}}; x>0\\ \frac{-1}{2\sqrt{x}}; x<0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y\text{'} >0 \forall x >0\\ y\text{'} <0 \forall x <0\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0