Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)

Câu hỏi: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mn>1</mn></math> b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo></math> c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo> </mo></math> d) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math> Hướng dẫn Giải: a) TXD: D = R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mfenced><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>±</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>12</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn></math> y''(0) = -4 <0 hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 1 y''(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>±</mo></math>1) = 8 > 0 hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>±</mo><mn>1</mn></math>, y = 0  b) TXD: D = R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>±</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>±</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mi>kπ</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/></math> <ul> <li>Với x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo> </mo><mo> </mo><mi>ta</mi><mo> </mo><mi>có</mi><mo>:</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mfenced><mrow><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>kπ</mi></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>sin</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo><</mo><mo> </mo><mn>0</mn></math></li> </ul>       Hàm số đạt cực đại tại các điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo> </mo></math> <ul> <li>Với x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo> </mo><mo> </mo><mi>ta</mi><mo> </mo><mi>có</mi><mo>:</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mfenced><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>kπ</mi></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>3</mn></mfrac></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>></mo><mn>0</mn></math></li> </ul>       Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo> </mo></math> c) TXD: D = R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>tan</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mi>sinx</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mi>cosx</mi><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/></math> <ul> <li>Với k = 2m ( m<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>Z</mi><mo> </mo></math>) ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo> </mo><mfenced><mrow><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>-</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo><</mo><mn>0</mn></math></li> </ul>       Hàm số đạt cực đại tại các điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo> </mo></math> <ul> <li>Với k = 2m + 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>m</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>Z</mi></mrow></mfenced></math> ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mfenced><mrow><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>></mo><mn>0</mn></math></li> </ul>       Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>;</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo> </mo></math> d) TXD: D = R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>5</mn><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>±</mo><mn>1</mn><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>20</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo> </mo></math> y''(1) = 14 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1  y''(-1) = -14 < 0. Do đó hàm số đạt cực đại tại x = -1