Câu hỏi: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = x^4 - 2x^2 +1$

b) $y = \sin 2x - x$

c) $y = \sin x + \cos x$

d) $y = x^5 - x^3 -2x + 1$

Hướng dẫn Giải:

a) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} =4x^3 -4x = 4x\left(x^2-1\right) \\ y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x = 0 \left(y = 1\right)\\ x = \pm 1 \left(y = 0\right)\end{array} \\ y\text{'}\text{'} = 12x^2-4 \end{gathered}$$

y''(0) = -4 <0 hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 1

y''($\pm$1) = 8 > 0 hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = $\pm 1$, y = 0 

b) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} = 2\cos 2x -1 \\ y\text{'} = 0 \iff \cos 2x = \frac{1}{2}\iff \cos 2x = \cos \frac{\mathrm{\pi }}{3} \\ \iff 2x = \pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }, \mathrm{k} \in \mathrm{Z} \\ \iff \mathrm{x} = \pm \frac{\mathrm{\pi }}{6} +\mathrm{k\pi }, \mathrm{k} \in \mathrm{Z} \\ \mathrm{y}\text{'}\text{'} = -4\sin 2\mathrm{x} \end{gathered}$$

• Với x = $\frac{\mathrm{\pi }}{6} +k\mathrm{\pi } \mathrm{ta} \mathrm{có}: \mathrm{y}\text{'}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{k\pi }\right) = -4\sin \frac{\mathrm{\pi }}{3} = -2\sqrt{3}< 0$

      Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$

• Với x = $-\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi } \mathrm{ta} \mathrm{có}: \mathrm{y}\text{'}\text{'}\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{k\pi }\right) = -4\sin \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) = 2\sqrt{3}>0$

      Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = -\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$

c) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} = \cos x - \sin x \\ y\text{'} = 0 \iff \sin x = \cos x \\ \iff \tan x = 1 = \tan \frac{\mathrm{\pi }}{4} +k\mathrm{\pi }, \mathrm{k} \in \mathrm{Z} \\ \mathrm{y}\text{'}\text{'} = -\mathrm{sinx} -\mathrm{cosx} \end{gathered}$$

• Với k = 2m ( m$\in Z$) ta có: $y\text{'}\text{'} \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2m\mathrm{\pi }\right) = -\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}-\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4} = -\sqrt{2}<0$

      Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2m\mathrm{\pi }, \mathrm{m} \in \mathrm{Z}$

• Với k = 2m + 1 $\left(m \in Z\right)$ ta có: $y\text{'}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\left(2m+1\right)\mathrm{\pi }\right) = \sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}+\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4} = \sqrt{2}>0$

      Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = \frac{\mathrm{\pi }}{4}+\left(2m+1\right)\mathrm{\pi }; \mathrm{m} \in \mathrm{Z}$

d) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} = 5x^4 - 3x^2 -2 \\ y\text{'} = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1 \\ y\text{'}\text{'} = 20x^3 -6x \end{gathered}$$

y''(1) = 14 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 

y''(-1) = -14 < 0. Do đó hàm số đạt cực đại tại x = -1