Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)

Câu hỏi: Tìm a và b để các cực trị của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>9</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo> </mo></math> đều là những số dương và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>9</mn></mfrac></math> là điểm cực đại Hướng dẫn Giải: <ul> <li>Với a = 0  thì hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>9</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mi>b</mi><mo> </mo></math> không có cực trị</li> <li>Với a<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>≠</mo></math>0 ta có:</li> </ul> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>5</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>9</mn><mspace linebreak="newline"/><mi>y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>a</mi><mo> </mo></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>a</mi><mo> </mo></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></math> <ul> <li>Với a < 0 ta có bảng biến thiên:</li> </ul> <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/anh-chup-man-hinh-2022-02-18-luc-140455-NpArHQ.png" width="593" height="143" /> x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>9</mn></mfrac></math> là điểm cực đại nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>9</mn><mn>5</mn></mfrac></math> Giá trị cực tiểu là số dương nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>y</mi><mrow><mi>C</mi><mi>T</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mfrac><mn>9</mn><mrow><mn>5</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>9</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>36</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mfrac><mn>36</mn><mn>5</mn></mfrac></math> <ul> <li style="list-style-type: none;"> <ul> <li>Với a > 0 ta có:</li> </ul> </li> </ul> <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/anh-chup-man-hinh-2022-02-18-luc-141002-JyC7RM.png" width="550" height="125" /> x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>9</mn></mfrac></math> là điểm cực đại nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mfrac><mn>9</mn><mrow><mn>5</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>⇔</mo><mi>a</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>81</mn><mn>25</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>C</mi><mi>T</mi></mrow></msub><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mi>a</mi></mfrac></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>5</mn><mrow><mn>3</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>2</mn><mi>a</mi></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>9</mn><mi>a</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mi>b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mfrac><mn>400</mn><mn>243</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mi>V</mi><mi>ậ</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mfenced open="{" close=""><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>9</mn><mn>5</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mfrac><mn>36</mn><mn>5</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable><mi>h</mi><mi>o</mi><mi>ặ</mi><mi>c</mi><mo> </mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>81</mn><mn>25</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mfrac><mn>400</mn><mn>243</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mfenced></math>