Câu hỏi: Tìm a và b để các cực trị của hàm số

$y = \frac{5}{3}{a}^2{x}^3 + 2a{x}^2 - 9x + b$

đều là những số dương và $x_0 = -\frac{5}{9}$ là điểm cực đại

Hướng dẫn Giải:

• Với a = 0  thì hàm số $y = -9x +b$ không có cực trị
• Với a$\ne$0 ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'} = 5a^2{x}^2 +4ax -9 \\ y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x = \frac{-9}{5a }\\ x = \frac{1}{a }\end{array} \end{gathered}$$

• Với a < 0 ta có bảng biến thiên:

x = $-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại nên $\frac{1}{a}= -\frac{5}{9}\iff a = -\frac{9}{5}$

Giá trị cực tiểu là số dương nên

$y_{CT}=y\left(-\frac{9}{5a}\right) = y\left(1\right) = \frac{5a^2}{3} + 2a - 9 + b = -\frac{36}{5}+b >0\iff b > \frac{36}{5}$

• • Với a > 0 ta có:

x = $-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại nên $-\frac{9}{5a} = -\frac{5}{9}\iff a = \frac{81}{25}$

$$\begin{gathered} và y_{CT} = y\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{5}{3a}+\frac{2}{a}-\frac{9}{a}+b >0 \iff b >\frac{400}{243} \\ Vậy \left\{\begin{array}{l}a = -\frac{9}{5}\\ b > \frac{36}{5}\end{array}hoặc \left\{\begin{array}{l}a = \frac{81}{25}\\ b > \frac{400}{243}\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$