1. Cực trị của hàm số là gì?

Khái niệm về cực trị của hàm số:

Cho hàm số y = $f\left(x\right)$liên tục trên khoảng (a;b) và điểm $x_0 \in (a;b)$

- Hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại x₀ nếu $f\left(x_0\right)>f\left(x\right) \forall x\in (x_0-h, x_0+h)\backslash \left\{x_0\right\}, h>0$

- Hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại x₀ nếu $f\left(x_0\right)<f\left(x\right) \forall x\in (x_0-h;x_0+h)\backslash \left\{x_0\right\}, h>0$

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

f(x) đạt cực trị tại x₀ có đạo hàm tại x₀ thì f'(x₀) = 0

b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

Điều kiện thứ nhất:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng$K=(x_0 - h; x_0 + h) (h>0)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x₀}:

Nếu $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)<0 \forall x \in (x_0 - h; x_0)\\ f\text{'}\left(x\right)>0 \forall x \in (x_0; x_0 +h)\end{array}\right.$ 

thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$

Nếu $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)>0 \forall x \in (x_0-h; x_0)\\ f\text{'}\left(x\right)<0 \forall x \in (x_0; x_0+h)\end{array}\right.$

thì x₀ là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$

Phát biểu một cách dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải, nếu:

+ f(x) đổi dấu từ x sang + khi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu

+ f(x) đổi dấu từ + sang - khi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại

Điều kiện thứ hai:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = $(x_0 - h; x_{0 }+ h) (h>0):$

+ Nếu $f\text{'}\left(x_0\right) = 0, f\text{'}\text{'}\left(x_0\right) <0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$

+ Nếu $f\text{'}\left(x_0\right) = 0, f\text{'}\text{'}\left(x_0\right) >0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$