Bài 2: Cực trị của hàm số
Lý thuyết Cực trị của hàm số
<h3><strong>1. Cực trị của hàm số là gì?</strong></h3>
<p><strong>Khái niệm về cực trị của hàm số:</strong></p>
<p>Cho hàm số y = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo></math>liên tục trên khoảng (a;b) và điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>- Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> đạt cực đại tại x<sub>0</sub> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>-</mo><mi>h</mi><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo>\</mo><mfenced open="{" close="}"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math></p>
<p>- Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> đạt cực tiểu tại x<sub>0</sub> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo><</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>-</mo><mi>h</mi><mo>;</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo>\</mo><mo>{</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>}</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math></p>
<h3><strong>2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị</strong></h3>
<p><strong>a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị</strong></p>
<p>f(x) đạt cực trị tại x<sub>0</sub> có đạo hàm tại x<sub>0</sub> thì f'(x<sub>0</sub>) = 0</p>
<p><strong>b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu</strong></p>
<p><strong><em>Điều kiện thứ nhất:</em></strong></p>
<p>Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><mi>K</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math> và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x<sub>0</sub>}:</p>
<p>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mfenced></math> </p>
<p>thì x<sub>0</sub> là điểm cực tiểu của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>-</mo><mi>h</mi><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>
<p>thì x<sub>0</sub> là điểm cực đại của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>Phát biểu một cách dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải, nếu:</p>
<p>+ f(x) đổi dấu từ x sang + khi qua x<sub>0</sub> thì x<sub>0</sub> là điểm cực tiểu</p>
<p>+ f(x) đổi dấu từ + sang - khi qua x<sub>0</sub> thì x<sub>0</sub> là điểm cực đại</p>
<p><strong><em>Điều kiện thứ hai:</em></strong></p>
<p>Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn><mo> </mo></mrow></msub><mo>+</mo><mo> </mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>:</mo></math></p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo> </mo><mo><</mo><mn>0</mn><mo> </mo></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math> là điểm cực đại của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>+ Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mo>'</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math> là điểm cực tiểu của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 18 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải