Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 122 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Tính tổng: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>10</mn><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mfrac><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac></math> Giải: Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac></math> Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></mfrac><mo>-</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac></math> Suy ra dãy số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub></math> là cấp số nhân lùi vô hạn với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math>, công bội <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac></math> Vậy S= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>u</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mo> </mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>q</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>10</mn><mn>11</mn></mfrac></math>