Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 122 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/25022022/7ec34923-e79e-46c5-a394-f70af3d6159d.PNG" /> Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn. a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Giải: a) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>4</mn><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>u</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>4</mn><mn>3</mn></msup></mfrac><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>4</mn><mi>n</mi></msup></mfrac></math> b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo> </mo></mrow></msub></math> là cấp số nhân lùi vô hạn với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math>, cộng bôi q = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math> do đó: limS1 =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>q</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mstyle><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>