Bài 3 (Trang 48, SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² – 4x + 1;

b) f(x) = 9x² + 6x + 1; 

c) f(x) = 2x² – 3x + 10; 

d) f(x) = – 5x² + 2x + 3;

e) f(x) = – 4x² + 8x – 4; 

g) f(x) = – 3x² + 3x – 1. 

Hướng dẫn giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 4x + 1 có ∆ = (– 4)² – 4 . 3 . 1 = 4 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1}{3} và x_2=1$

Lại có hệ số a = 3 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và (1;+∞); f(x)<0 với mọi x thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3}; 1\right)$

b) Tam thức bậc hai f(x) = 9x² + 6x + 1 có ∆ = 6² – 4 . 9 . 1 = 0.

Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép là $x_0=-\frac{1}{3}$

Lại có hệ số a = 9 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{-\frac{1}{3}\right\}$

c) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 10 có ∆=(–3)²–4.2.10=–71<0 và hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$

d) Tam thức bậc hai f(x) = – 5x² + 2x + 3 có ∆=2²–4.(–5).3=64>0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{3}{5} và x_2=1$

Lại có hệ số a = – 5 < 0.

Vậy f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ; -\frac{3}{5}\right)$ và (1; + ∞); f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng$\left(-\frac{3}{5}; 1\right)$

e) Tam thức bậc hai f(x) = – 4x² + 8x – 4 có ∆ = 8² – 4 . (– 4) . (– 4) = 0.

Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép x₀ = 1.

Lại có hệ số a = – 4 < 0.

Vậy f(x) < 0 với mọi $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$

g) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 3x – 1 có ∆ = 3² – 4 . (– 3) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$