Công thức tính thể tích khối cầu nhanh chính xác nhất

Không chỉ trong toán học mà trong đời sống của chúng ta, khối cầu thường xuyên xuất hiện như quả bóng chuyền, quả cầu pha lê hoặc trái đất,... Chính vì thế mà bạn cần hiểu và biết công thức tính thể tích khối cầu. Để từ đó có thể áp dùng vào các bài tập toán học, đồng thời vận dụng vào đời sống hằng ngày.

Ghi nhớ công thức tính thể tích khối cầu chuẩn nhất

Khối cầu là gì?

Khối cầu được hiểu đơn giản là một khối được tạo ra từ không gian tính từ mặt cầu đến tâm của nó. Thể tích khối cầu là tất cả những phần trong không gian ở phía trên của mặt cầu hoặc không gian khối cầu.

Trong đó mặt cầu là mặt cong được tạo ra từ quỹ đạo của những điểm cách điểm O một khoảng cách, khoảng cách này bằng R trong không gian 3 chiều.

Ghi nhớ dấu hiệu nhận biết khối cầu là gì

Công thức tính thể tích khối cầu trong toán học

Chúng ta có thể tính thể tích khối cầu dựa theo bán kính hoặc đường kính của khối cầu, cụ thể như sau:

-) Công thức tính theo bán kính khối cầu: ${\mathbf{V}}_{\mathbf{khối}\mathbf{ }\mathbf{cầu}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{3}}$

-) Công thức tính theo đường kính khối cầu: ${\mathbf{V}}_{\mathbf{khối}\mathbf{ }\mathbf{cầu}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}{\mathbf{\pi d}}^{\mathbf{3}}$

Trong đó:

• V là thể tích khối cầu (có đơn vị là m³)
• π là số pi, số pi sẽ có giá trị xấp xỉ trong khoảng 3,14
• r là bán kính khối cầu
• d là đường kính của khối cầu

Ngoài ra, bạn cũng có thể tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lập phương có cạnh bằng a, bán kính khối cầu là R. Công thức tính như sau:

${\mathbf{V}}_{\mathbf{khối}\mathbf{ }\mathbf{cầu}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi }\mathbf{.}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{\pi a}}^{\mathbf{3}}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}$

Tham khảo thêm: Công thức tính diện tích hình bình hành

Cách tính thể tích khối cầu

Để tính thể tích khối cầu chính xác nhất, bạn cần thực hiện 3 bước đơn giản mà Colearn hướng dẫn dưới đây: 

Viết ra giấy hoặc sổ tay công thức thể tích khối cầu

V = ⁴⁄₃πr³

Trong đó:

• V là thể tích khối cầu (có đơn vị là m³)
• π là số pi, số pi sẽ có giá trị xấp xỉ trong khoảng 3,14
• r là bán kính khối cầu

Tìm kích thước bán kính r

• Trường hợp 1: Nếu trong bài toán có cho sẵn kích thước bán kính thì các bạn sẽ đến bước kế tiếp.
• Trường hợp 2: Nếu đề bài đã cho đường kính thì học sinh sẽ bắt đầu chia đôi để có được bán kính. 

Ví dụ, đường kính d = 20cm, thì bán kính r = 10cm.

Với thư viện bài giảng trực tuyến học sinh có thể dễ dàng chinh phục các bài tập về tính thể tích khối cầu nhanh hơn.

Thế số công thức thể tích khối cầu

Ví dụ: Chúng ta tìm được bán kính khối cầu r = 10 cm. Thể tích của khối cầu sẽ là: $\mathrm{V} = \frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3 = \frac{4}{3}.3,14.{\left(10\right)}^3 = 4,186 {\mathrm{cm}}^3$

Tới đây, các em học sinh đã biết công thức tính thể tích khối cầu chuẩn nhất. Nếu các em ghi nhớ các cách chứng minh tứ giác nội tiếp sẽ chinh phục môn Toán dễ dàng hơn.

Nắm vững cách tính thể tích khối cầu chuẩn nhất

Bài tập tính thể tích khối cầu

Để trau dồi thêm kiến thức công thức tính thể tích khối cầu, bạn cần rèn luyện thêm cho bản thân bằng những bài tập thường xuyên. Nắm vững cách học giỏi Toán hình thì bạn sẽ dễ dàng đạt điểm cao môn học này. Đây được xem là cách ghi nhớ kiến thức cực kì hiệu quả. Dưới đây Colearn sẽ hướng dẫn bạn giải các dạng bài tập tính thể tích khối cầu với mức độ từ dễ đến khó.

Ví dụ: Mặt cầu được cho có bán kính $\mathrm{R}\sqrt{3}$ có diện tích là:

$\mathrm{A}. 4\sqrt{3}{\mathrm{\pi R}}^2 \mathrm{B}. 4{\mathrm{\pi R}}^2 \mathrm{C}. 6{\mathrm{\pi R}}^2 \mathrm{D}. 12{\mathrm{\pi R}}^2$

Cách giải như sau:

Áp dụng công thức: S = 4πR².

Ta có diện tích mặt cầu bán kính $\mathrm{R}\sqrt{3}$ là: $\mathrm{S} = 4\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\sqrt{3}\right)}^2 = 12{\mathrm{\pi R}}^2$ => Đáp án D.

Các em học sinh muốn học tốt môn Toán có thể tham gia học gia sư online của Colearn để nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Ví dụ 2: Hãy tính thể tích khối cầu với đường kính cho trước d = 6cm

Cách giải như sau:

Ta có bán kính r= d/2 = 3cm

Thể tích khối cầu là: $\mathrm{V} = \frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3 = \frac{4}{3}3,14.{\left(3\right)}^2 = 113,04 \left({\mathrm{cm}}^3\right)$

Nếu trong quá trình giải các bài tập áp dụng công thức tính thể tích khối cầu mà học sinh gặp các câu hỏi khó, có thể tham gia hỏi đáp tại Colearn để nhận được đáp án chính xác trong thời gian ngắn nhất.

Ví dụ 3: Tính thể tích của các khối cầu có bán kính nối từ tâm O dài: 6m; 15m.

Cách giải như sau:

Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu, chúng ta sẽ tính thể tích của khối cầu đó (O, R) là:

-) Trường hợp R = 9m: $\mathrm{V} = \frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3 = \frac{4}{3}.\mathrm{\pi }.9^3 = 972\mathrm{\pi } \left({\mathrm{m}}^3\right)$

-) Trường hợp R = 12m: $\mathrm{V} = \frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3 = \frac{4}{3}.\mathrm{\pi }.{12}^3 = 2304\mathrm{\pi } \left({\mathrm{m}}^3\right)$

Học sinh nên tham khảo giải bài tập SGK để nắm vững kiến thức và giải các bài tập cùng dạng nhanh nhất.

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt hình cầu.

Ta có: SA = a, SB = b, SC = c. 

Ba cạnh SA, SB, SC từng đôi một vuông góc với nhau. Bạn hãy tính thể tích khối cầu được tạo lên từ mặt cầu cho trước đo.

Cách giải như sau:

Ta gọi M là trung điểm của cạnh AB.

SAB là tam giác vuông góc tại S có SM là đường truy tuyến $\Rightarrow \mathrm{SM} = \mathrm{MA} = \mathrm{MB} = \frac{1}{2}\mathrm{AB}$

M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác SAB.

Ta kẻ đường thẳng ∆ đi qua M và đồng thời vuông góc với mặt phẳng SAB

Khi đó, ta có: ∆ // SC và ∆ chính là đường tròn ngoại tiếp của tam giác SAB

Trong mặt phẳng (∆, SC) ta có đường trung trực của SC sẽ cắt ∆ tại điểm I

Ta có: IS= IC (1) và IS = IA = IB (2)

Từ (1) và (2), ta có IA = IC = IS

=> I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp SABC

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp là: $\mathrm{R} = \mathrm{IS} = \sqrt{{\mathrm{IM}}^2 + {\mathrm{SM}}^2}$ với:

$\mathrm{SM} = \frac{1}{2}\mathrm{AB} = \frac{1}{2}\sqrt{{\mathrm{SA}}^2 + {\mathrm{SB}}^2} = \frac{\sqrt{{\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2}}{2}$

$\mathrm{IM} = \mathrm{SN} = \frac{\mathrm{SC}}{2} = \frac{\mathrm{c}}{2}$

$\Rightarrow \mathrm{Bán} \mathrm{kính} \mathrm{của} \mathrm{hình} \mathrm{cầu} \mathrm{R} = \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{c}}{2}\right)}^2 + {\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{a}}^2} + {\mathrm{b}}^2}{2}\right)}^2} = \frac{1}{2}\sqrt{{\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2}$

$\Rightarrow \mathrm{Thể} \mathrm{tích} \mathrm{của} \mathrm{khối} \mathrm{cầu} {\mathrm{V}}_{\mathrm{khối} \mathrm{cầu}} = \frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3 = \frac{1}{6}{\mathrm{\pi d}}^3 = \frac{1}{6}\mathrm{\pi }{\sqrt{\left({\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2\right)}}^3 = \frac{1}{6}\mathrm{\pi }\left({\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2\right)$

Nhìn chung thì công thức tính thể tích khối cầu không khó, tuy nhiên cần các bạn học sinh nắm chắc kiến thức cũng như biết cách vận dụng hiệu quả. Hy vọng thông qua những gì Colearn chia sẻ đã giúp bạn học tốt môn toán hơn. Chúc bạn học thật giỏi.