Bài 9 (Trang 70 SGK Toán Hình học 9, Tập 1):

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau tại K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng $\frac{1}{{\mathrm{DI}}^2} + \frac{1}{{\mathrm{DK}}^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

a)

Ta có $\mathrm{BC}\perp \mathrm{CD} (\mathrm{ABCD} \mathrm{là} \mathrm{hình} \mathrm{vuông}) \Rightarrow \widehat{\mathrm{DCL}} = 90°$

Xét tam giác ADI và tam giác CDL, ta có:

$\widehat{\mathrm{IAD}} = \widehat{\mathrm{LCD}} (=90°), \mathrm{AD} = \mathrm{CD}\hspace{0.17em}(\mathrm{ABCD} \mathrm{là} \mathrm{hình} \mathrm{vuông}), \widehat{\mathrm{ADI}} = \widehat{\mathrm{CDL}} (\mathrm{cùng} \mathrm{phụ} \widehat{\mathrm{IDC}})$

$\Rightarrow △\mathrm{ADI} = △\mathrm{CDL} (\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})$

$\Rightarrow \mathrm{DI} = \mathrm{DL} \Rightarrow △\mathrm{DIL} \mathrm{là} \mathrm{tam} \mathrm{giác} \mathrm{cân} \mathrm{tại} \mathrm{D}.$

b)

Xét tam giác DLK vuông tại D có DC là đường cao

$\Rightarrow \frac{1}{{\mathrm{DL}}^2} + \frac{1}{{\mathrm{DK}}^2} = \frac{1}{{\mathrm{DC}}^2}$

Do vậy nên $\frac{1}{{\mathrm{DI}}^2} + \frac{1}{{\mathrm{DK}}^2} = \frac{1}{{\mathrm{DC}}^2} \mathrm{không} \mathrm{thay} \mathrm{đổi}$.