Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=m\\ 4x-m^{2}y=2\sqrt{2}\end{array}\right.$ trong mỗi trường hợp sau:

$$\begin{gathered} a) m=-\sqrt{2} \\ b) m=\sqrt{2} \\ c) m=1 \end{gathered}$$

Giải: 

Cách 1: (Dùng phương pháp thế)

Từ phương trình đầu ta có $y=2x-m$. Thế vào phương trình sau để khử ẩn y thì được

$$\begin{gathered} 4x-m^2\left(2x-m\right)=2\sqrt{2}\iff 2\left(2-m^2\right)x=2\sqrt{2}-m^3 \\ \iff 2\left(\sqrt{2}-m\right)\left(\sqrt{2}+m\right)x=\left(\sqrt{2}-m\right)\left(2+m\sqrt{2}+m^2\right) \left(1\right) \end{gathered}$$

a) Với $m=-\sqrt{2}$, phương trình (1) trở thành $0x=4\sqrt{2}$, vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

b) Với $m=\sqrt{2}$, (1) trở thành $0x=0$, đúng với mọi x.

Hệ có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\\ y=2x-\sqrt{2}\end{array}\right.$

c) Với $m=1$, (1) trở thành $2x=2\sqrt{2}-1\iff x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

Hệ có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}\\ y=2\sqrt{2}-2\end{array}\right.$

Cách 2: (Dùng phương pháp công đại số): Nhân hai vế của phương trình đầu với - 2 rô̂i cộng từng vế hai phương trình thì được

a) Với $m=-\sqrt{2}$, phương trình (2) trở thành $0y=4\sqrt{2}$, vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

b) Với $m=\sqrt{2}$, (2) trở thành $0y=0$, đúng với mọi y.

Hệ có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{y}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$

c) Với $m=1$, (2) trở thành $y=2\left(\sqrt{2}-1\right)$

Hệ có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}\\ y=2\left(\sqrt{2}-1\right)\end{array}\right.$