Cho biểu thức $\left(\frac{x+1}{2x-2}+\frac{3}{x^2-1}-\frac{x+3}{2x+2}\right).\frac{4x^2-4}{5}$

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thi nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Giải

a) $2x-2=2(x-1)\ne 0$ khi $x–1\ne 0$ hay $x\ne 1$

$x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ khi $x–1\ne 0$và $x+1\ne 0$ hay $x\ne 1$ và $x\ne -1$

$2x+2=2(x+1)$$\ne 0$ khi $x+1\ne 0$hay $x\ne -1$

Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là $x\ne -1, x\ne 1$.

b) Để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x ta phải chứng minh có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.

Thật vậy:

$$\begin{gathered} \left(\frac{x+1}{2x-2}+\frac{3}{x^2-1}-\frac{x+3}{2x+2}\right).\frac{4x^2-4}{5} \\ =\left[\frac{x+1}{2(x-1)}+\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x+3}{2\left(x+1\right)}\right].\frac{4x^2-4}{5} \\ =\frac{{\left(x+1\right)}^2+6-\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{4.\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5} \\ =\frac{10}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{4.\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}=\frac{10.4.\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right).5}=\frac{10.2}{5}=4. \end{gathered}$$