Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:

a) $\frac{3x^2-4x-17}{x+2}$;                                                                                                  b) $\frac{x^2-x+2}{x-3}.$

Giải

a) Ta có:

Nên $\frac{3x^2-4x-17}{x+2}=3x-10+\frac{3}{x+2}$

Để phân thức là số nguyên thì $\frac{3}{x+2}$ phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x)

$\frac{3}{x+2}$ nguyên thì $x+2$ phải là ước của 3

Các ước của 3 là $\pm 1, \pm 3$. Do đó:

$$\begin{gathered} x+2=\pm 1 \Rightarrow x=-1, x=-3 \\ x+2=\pm 3 \Rightarrow x=1, x=-5 \end{gathered}$$

Vậy $x=-5,-3,-1, 1$

b) Ta có:  $\frac{x^2-x+2}{x-3}=x+2+\frac{8}{x-3}$

Để $\frac{x^2-x+2}{x-3}$ là nguyên thì $\frac{8}{x-3}$phải nguyên. Suy ra $x-3$ là ước của 8.

Các ước của 8 là $\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8$

Do đó 

$$\begin{gathered} x–3=\pm 1 \Rightarrow x=4 ; 2 \\ x–3=\pm 2 \Rightarrow x=5 ; 1 \\ x–3=\pm 4 \Rightarrow x=7 ;-1 \\ x–3=\pm 8 \Rightarrow x=11 ;-5 \end{gathered}$$

Vậy $x =-5;-1; 1; 2; 4; 5; 7; 11.$