Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $I,$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,AB.$ Đường chéo $BD$ cắt $AI,CK$ theo thứ tự ở $M$ và $N.$ Chứng minh rằng:

a) $AI//CK$

b) $DM=MN=NB$

$\mathrm{Lời\; giải\; chi\; tiết}$

a) Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết)
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=C\mathrm{D}\\ AB//C\mathrm{D}\end{array}\right.$ (tính chất hình bình hành)
Mà I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB (giả thiết) $\Rightarrow AK=IC$
Lại có: AB//DC (chứng minh trên) $\Rightarrow AK//IC$
Tứ giác AICK có:
$\left\{\begin{array}{l}AK//IC\\ AK=IC\end{array}\right.$(chứng minh trên)
$\Rightarrow$ Tứ giác AICK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
$\Rightarrow AI//CK$ (tính chất hình bình hành)
b) $\mathrm{\Delta }DCN$ có DI=IC (chứng minh trên), IM//CN (vì AI//KC)
$\Rightarrow DM=MN$ (1) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

Xét $\mathrm{△}ABM$ có AK=KB (chứng minh trên) và KN//AM (vì AI//CK)
$\Rightarrow MN=NB$. (2) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)
Từ (1) và (2)$\Rightarrow DM=MN=NB$