Đề bài

Cho hình bình hành $AB\mathrm{CD}$ Gọi  $E$ là trung điểm của $A\mathrm{D,}$ $F$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $BE=DF$.

Lời giải chi tiết 

ABCD hình bình hành nên DE//BF và AD=BC
E là trung điểm của AD (giả thiết) nên $DE=\frac{1}{2}AD$ (tính chất trung điểm)
F là trung điểm của BC (giả thiết) nên $BF=\frac{1}{2}BC$ (tính chất trung điểm)
Mà AD=BC (chứng minh trên) nên DE=BF
Tứ giác BEDF có DE//BF và DE=BF (chứng minh trên)

$\Rightarrow$Tứ giác BEDF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
$\Rightarrow BE=DF$ (tính chất hình bình hành).
Cách khác:
+ABCD là hình bình hành
$\Rightarrow AB=CD,AD=BC,\widehat{A}=\widehat{C}$

+E là trung điểm của $AD\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AD$ (tính chất trung điểm)
F là trung điểm của $BC\Rightarrow BF=\frac{1}{2}BC$ (tính chất trung điểm)
Mà AD=BC (chứng minh trên) $\Rightarrow AE=CF$
+ Xét $\mathrm{\Delta }AEB$ và $\mathrm{\Delta }CFD$ có: $B=CD,\widehat{A}=\widehat{C},AE=CF$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEB=\mathrm{\Delta }CFD(c.g.c)$

⇒EB=DF.