Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ ($AB>BC$). Tia phân giác của góc $D$ cắt $\mathrm{AB}$ ở $E$, tia phân giác của góc B cắt $CD$ ở $F$.

a) Chứng minh rằng $DE//BF$.

b) Tứ giác $DEBF$ là hình gì ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết 

a) Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (tính chất hình bình hành ) (1)
Vì BF là tia phân giác $\widehat{ABC}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (tính chất tia phân giác) (2)
Vì DE là tia phân giác $\widehat{ADC}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{D_2}=\frac{\widehat{ADC}}{2}$ (tính chất tia phân giác) (3)
Từ' $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow \widehat{D_2}=\widehat{B_1}$ (4)
Có AB//DC (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{F_1}$ (so le trong) (5)
Từ' (4) và (5) suy ra $\widehat{F_1}=\widehat{D_2}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE//BF (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
b) ABCD là hình bình hành (giả thiết)
$\Rightarrow AB//CD$ (tính chất hình bình hành) hay BE//DF
Xét tứ giác DEBF có BE//DF (chứng minh trên) và DE//BF (theo câu a)
Suy ra tứ giác DEBF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).