Giải các phương trình:

$$\begin{gathered} a) \frac{1}{x-1}-\frac{3x^2}{x^3-1}=\frac{2x}{x^2+x+1} \\ b) \frac{3}{(x-1)(x-2)}+\frac{2}{(x-3)(x-1)}=\frac{1}{(x-2)(x-3)} \\ c) 1+\frac{1}{x+2}=-\frac{12}{8+x^3} \\ d) \frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{(x-3)(x+3)} \end{gathered}$$

Giải

a) ĐKXĐ: $x\ne 1$

Quy đồng và khử mẫu:

$$\begin{gathered} x^2+x+1-3x^2=2x(x-1)\iff -4x^2+3x+1=0 \\ \Rightarrow -4x^2-x+4x+1=0\iff -x(4x+1)+(4x+1)=0 \\ \iff (4x+1)(1-x)=0\iff 4x+1=0 hoac 1-x=0 \\ *4x+1=0\iff x=-\frac{1}{4}\left(TM\right) \\ *1-x=0\iff x=1 \left(loai\right) \end{gathered}$$

Vậy $S=-\left\{\frac{1}{4}\right\}$

b) ĐKXĐ: $x\ne 1, x\ne 2, x\ne 3$

Quy đồng và khử mẫu

$3(x-3)+2(x-2)=x-1\iff 4x=12\iff x=3 \left(loai\right)$

Vậy $S=\varnothing$

c) Chú ý rằng $8+x^3=2^3+x^3=(2+x)(4-2x-x^2)$

Vì $4-2x+x^2=3+(1-2x+x^2)=3-{(1-x)}^2>0$ với mọi x nên $8+x^3\ne 0$ nếu và chỉ nếu $2+x\ne 0$,

tức $x\ne -2$. Do đó ta có ĐKXĐ là $x\ne -2$

Quy đồng và khử mẫu ta được

$$\begin{gathered} 8+x^3+4-2x+x^2=12\iff x^3+x^2-2x=0 \\ \iff x^3-x^2+2x^2-2x=0\iff x^2(x-1)+2x(x-1)=0 \\ \iff x(x-1)(x+2)=0 \\ \iff x=0 \left(nhan\right) hoac x=1 (nhan hoac x=-1 (loai) \end{gathered}$$

Vậy S = {0;1}

d) ĐKXĐ: $x\ne \pm 3, x\ne -\frac{7}{2}$

Quy đồng và khử mẫu

$$\begin{gathered} 13(x+3)+(x-3)(x+3)=6(2x+7) \\ \iff x^2+13x+30=12x+42\iff x^2+x-12=0 \\ \iff x^2+4x-3x-12=0\iff x(x+4)-3(x+4)=0 \\ \iff (x+4)(x-3)=0\iff x(x+4)-3(x+4)=0 \\ \iff (x+4)(x-3)=0\iff x=-4\hspace{0.17em}\left(nhan\right), x=3 \left(loai\right) \end{gathered}$$

Vậy $S=\left\{-4\right\}$