Đề bài

a) Cho tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $A$ và đường phân giác $A$. Tính diện tích tam giác $ADM$, biết $AB=m,AC=n(n>m)$ và diện tích của tam giác $ABC$ là $S$.

b) Cho $n=7cm,m=3cm$. Hỏi diện tích tam giác $ADM$ chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có AD là đường phân giác của $\mathrm{\Delta }ABC$ (gt) nên
$\frac{B\mathrm{D}}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (Tính chất đường phân giác của tam giác) $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{DB}{DC}$ (do hai tam giác có chung chiều cao từ' đỉnh A)

Nên  $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{S_{ADC}}{S_{ABD}}=\frac{n}{m} \\ \Rightarrow \frac{S_{ADC}}{S_{ABD}}+1=\frac{n}{m}+1 \\ \Rightarrow \frac{S_{ADC}+S_{ABD}}{S_{ABD}}=\frac{n+m}{m} \\ \Rightarrow \frac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}=\frac{m}{n+m} \end{gathered}$$

hay $$\begin{gathered} \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{m}{n+m} \\ \Rightarrow S_{ABD}=\frac{mS}{n+m} \end{gathered}$$
Vì AM là trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABC\left(\mathrm{gt}\right)\Rightarrow S_{ABM}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}.$
Có AB<AC(m<n) và AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ' A nên AD nằm giữa AB và AM.
$$\begin{gathered} \Rightarrow S_{ADM}=S_{ABM}-S_{ABD} \\ \Rightarrow S_{ADM}=\frac{1}{2}S-\frac{m}{n+m}S=\frac{S(m+n-2m)}{2(m+n)} \end{gathered}$$
$S_{ADM}=\frac{S(n-m)}{2(m+n)}$
b) Khi n=7cm, m=3cm ta có:
$S_{A\mathrm{D}M}=\frac{7-3}{2(7+3)}.S=\frac{S}{5}=\frac{20.S}{100}=20\%S$
Vậy $S_{ADM}=20\%S_{ABC}.$