Đề bài
Cho hình thang ABCD(AB//CD).
Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự là E và F.
Chứng minh rằng:
a) $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$
b) $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}$
c) $\frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB}.$

Lời giải chi tiết

a) Nối AC cắt EF tại O
$\mathrm{\Delta }ADC$ có EO//DC (giả thiết) $\Rightarrow \frac{AE}{ED}=\frac{AO}{OC}$
(1) (theo định lí Talet)
$\mathrm{\Delta }ABC$ có OF//AB (giả thiết) $\Rightarrow \frac{AO}{OC}=\frac{BF}{FC}$
(2) (theo định lí Talet)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$
b) Theo câu a) ta có:
$$\begin{gathered} \frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}\Rightarrow \frac{FC}{BF}=\frac{ED}{AE} \\ \Rightarrow \frac{FC}{BF}+1=\frac{ED}{AE}+1 \\ \Rightarrow \frac{FC+BF}{BF}=\frac{ED+AE}{AE} \\ \Rightarrow \frac{BC}{BF}=\frac{AD}{AE} \\ \Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC} \end{gathered}$$

c) Theo câu b) ta có:
$$\begin{gathered} \frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC} \\ \Rightarrow \frac{AE}{ED}+1=\frac{BF}{FC}+1 \\ \Rightarrow \frac{AE+ED}{ED}=\frac{BF+FC}{FC} \\ \Rightarrow \frac{AD}{ED}=\frac{BC}{FC} \\ \Rightarrow \frac{FC}{BC}=\frac{ED}{AD}hay\frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB} \end{gathered}$$