Đề bài
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB=m, AC=n và AD là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}.$

Lời giải chi tiết

Kẻ $AH⟂BC$
Ta có:
$$\begin{gathered} S_{ABD}=\frac{1}{2}AH.BD \\ {S}_{ACD}=\frac{1}{2}AH.DC\Rightarrow \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.DC}=\frac{BD}{DC} \end{gathered}$$
Mặt khác: AD là đường phân giác của $\mathrm{△}ABC$ (gt)

$\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)
Vậy $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{m}{n}$ (điều phải chứng minh).