Đề bài

Đố. Vẽ hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5cm,BC=3cm.$

a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật $ABCD.$ Vẽ được mấy hình như vậy.

b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật $ABCD$ Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Hình chữ nhật $ABCD$ đã cho có diện tích là 

$S_{ABCD}=3.5=15\left({\mathrm{cm}}^2\right).$
Chu vi hình chữ nhật ABCD là (5+3).2=16 (cm)
- Hình chữ nhật có chiều rộng là 1cm, chiều dài là 12cm có diện tích là $12{\mathrm{cm}}^2<S_{ABCD}$ và chu vi là $(1+12)\cdot 2=26\left(\mathrm{cm}\right)$ (có 26>16).
- Hình chữ nhật có chiều rộng là $2\mathrm{cm},$ chiều dài là $7\mathrm{cm}$ có diện tích là $14{\mathrm{cm}}^2<S_{ABCD}$ và chu vi là $(2+7)\cdot 2=18\left(\mathrm{cm}\right)$ (có 18>16).
Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn như'ng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD cho trước.

b) Chu vi hình chữ nhật $ABCD$ đã cho là: 

           $(5+3).2=16\left(cm\right)$

Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật $ABCD$ là:

            $16:4=4\left(cm\right).$

Diện tích hình vuông này là $4.4=16\left({\mathrm{cm}}^2\right)$
Vậy $S_{hcn}<S_{hv}$
Vẽ được một hình vuông nhứ vậy.
+) Tổng quát: Giả sử hình chữ nhật có các kích thước là a, b. Khi đó:
- Diện tích của hình chữ nhật đó là: ab
- Chu vi hình chữ nhật đó là: 2.(a+b)
- Cạnh của hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật là:
$\frac{2\cdot (a+b)}{4}=\frac{a+b}{2}$
Vậy diện tích hình vuông đó là: ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$
Ta có:
${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{{(a+b)}^2}{4}=\frac{a^2+2\mathrm{a}b+b^2}{4}=\frac{{(a-b)}^2+4\mathrm{a}b}{4}$

$=\frac{{(a-b)}^2}{4}+ab\ge ab$
( vì $\frac{{(a-b)}^2}{4}\ge 0$ với mọi a, b )
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.