Đề bài

Cho hình $1$, trong đó $ABCD$ là hình chữ nhật, $E$ là một điểm bất kì nằm trên đường chéo $AC,FG//AD$, và $HK//AB$.

Chứng minh rằng hai hình chữ nhật $EFB$ và $EGDH$ có cùng diện tích. 

Lời giải chi tiết

$AB$ là hình chữ nhật nên $AB//CD;AD//BC$

Vì $FG//AD$ (gt) nên suy ra $EG//KC$
Vì $HK//DC$ (vì cùng song song với $A$) nên suy ra $EK//GC$

$\Rightarrow$ Tứ giác $EKCG$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Mặt khác, $\widehat{GCK}={90}^0$ (gt) do đó EKCG là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Xét $\mathrm{△}ECG$ và $\mathrm{\Delta }CEK$ có:
+) EG=KC (vì EKCG là hình chữ nhật)
+) EC chung (gt)
+) EK=CG (vì EKCG là hình chữ nhật)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ECG=\mathrm{\Delta }CEK$ (c-c-c)
Do đó: $S_{ECG}=S_{CEK}$ (1) (Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau)
Tương tự:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên
$AB=DC,AD=BC,\widehat{D}=\widehat{B}={90}^0$
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADC=\mathrm{\Delta }CBA(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$
Do đó: $S_{ADC}=S_{CBA}$
Vì AF//HE, AH//EF nên AHEF là hình bình hành.

Lại có $\widehat{A}={90}^{\circ }$ (do $\mathrm{ABCD}$ là hình chữ nhật) nên AHEF là hình chữ nhật.

Suy ra $AF=HE,AH=FE,\widehat{H}=\widehat{F}={90}^0$ (tính chất)

$\Rightarrow \mathrm{△}AHE=\mathrm{\Delta }EFA$ (c-g-c)
Do đó: $S_{AHE}=S_{EFA}$
Ta có:

$$\begin{gathered} S_{ADC}=S_{AHE}+S_{EGDH}+S_{ECG} \\ {S}_{CBA}=S_{EFA}+S_{EFBK}+S_{CEK} \end{gathered}$$

Kết hợp với $\left(2\right)\Rightarrow S_{AHE}+S_{EGDH}+S_{ECG}=S_{EFA}\mathrm{\&}+S_{EFBK}+S_{CEK}$

Kết hợp với (1) và (3) $\Rightarrow S_{EGDH}=S_{EFBK}$