Bài 9 (Trang 120 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

a)

Gọi K là trung điểm của BC.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng (1).

Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.

Trong tam giác ABC cân tại A có AK là đường trung tuyến.

Xét tam giác ABK và tam giác ACK có:

     AB = AC (tam giác ABC cân);

     AK chung;

     BK = KC (K là trung điểm của BC).

$\Rightarrow ∆ABK = ∆ACK$ (c - c - c)

$\Rightarrow \widehat{AKB} = \widehat{AKC} = 90°$ (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng)

    $\widehat{BAK} = \widehat{CAK}$

Vậy AK là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.

Suy ra: AK là đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy AK là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC.

Mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b)

Gọi K là chân đường cao kẻ từ H vuông BC.

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của $\widehat{BAC} \Rightarrow$AK là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{KAB} = \widehat{KAC}$

Xét ∆AKB vuông tại K và ∆AKC vuông tại K có:

$\widehat{KAB} = \widehat{KAC}$

AK chung 

Do đó ∆AKB = ∆AKC (góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.