Bài 9 (Trang 120 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Hướng dẫn Giải Bài 9 (Trang 120 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Bài 9 (Trang 120 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng: a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng. b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.   Hướng dẫn giải a) <img class="wscnph" style="max-width: 100%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17102022/bai-9-trand-120-toan-lop-7-tap-2-7yA6OK.png" /> Gọi K là trung điểm của BC. Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng (1). Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.   Trong tam giác ABC cân tại A có AK là đường trung tuyến. Xét tam giác ABK và tam giác ACK có:      AB = AC (tam giác ABC cân);      AK chung;      BK = KC (K là trung điểm của BC). <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>K</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>K</mi></math> (c - c - c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>K</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>K</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math> (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng)     <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>K</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>C</mi><mi>A</mi><mi>K</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> Vậy AK là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A. Suy ra: AK là đường trung trực của tam giác ABC. Vậy AK là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC. Mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.   b) <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17102022/bai-9-trand-120-toan-lop-7-tap-2-1-plinkE.png" /> Gọi K là chân đường cao kẻ từ H vuông BC. H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K thẳng hàng. Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng. Mà AI là tia phân giác của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>⇒</mo></math>AK là đường phân giác của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>K</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>K</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> Xét ∆AKB vuông tại K và ∆AKC vuông tại K có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>K</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>K</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> AK chung  Do đó ∆AKB = ∆AKC (góc nhọn - cạnh góc vuông). Suy ra AB = AC (2 cạnh tương ứng). Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn Giải Bài 1 (Trang 119 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Xem lời giải

Hướng dẫn Giải Bài 2 (Trang 119 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Xem lời giải

Hướng dẫn Giải Bài 3 (Trang 119 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Xem lời giải

Hướng dẫn Giải Bài 4 (Trang 119 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Xem lời giải

Hướng dẫn Giải Bài 5 (Trang 119 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Xem lời giải

Hướng dẫn Giải Bài 6 (Trang 119 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)