Bài 8 (Trang 120 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

Chứng minh:

a) ∆OMA = ∆OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Hướng dẫn giải

a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:

OM chung.

OA = OB (chứng minh trên).

Do đó ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow \widehat{OMA} = \widehat{OMB}$(2 góc tương ứng)

$\Rightarrow$MO là tia phân giác của $\widehat{BMA}$ haycuar $\widehat{NMP}$

b) Nối OP

Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:

OP chung.

OA = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow \widehat{OPA} = \widehat{OPC}$ (2 góc tương ứng)

Do đó PO là tia phân giác của $\widehat{CPA}$ hay PO là tia phân giác của $\widehat{NPM}.$

Trong tam giác NMP có O là giao điểm hai đường phân giác của góc M và góc P.

Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.