Cho hình vuông ABCD cạnh a . Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng $△$ vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Trên $△$ lấy điểm S sao cho $OS=\frac{a}{2}$. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Tính diện tích

của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. 

Giải

$$\begin{gathered} Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD , SO \perp \left(ABCD\right) \\ \Rightarrow SO là trục đường trong ngoại tiếp ABCD \\ Gọi M là trung điểm của cạnh SA. Trong mặt phẳng \left(SAO\right) đường trung trực d của \\ đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I. Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng \\ nên ta có \\ \frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SM}\Rightarrow SI=\frac{SA.SM}{SO} hay SI=\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}}{{\displaystyle \frac{a}{2}}}=\frac{3a}{4} \\ I \in SO \cap d \Rightarrow I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD \\ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và có bán kính \\ r =SI=\frac{3a}{4} \\ Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu là : \\ S =4{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{9{\mathrm{\pi a}}^2}{4} \mathrm{và} \mathrm{V}=\frac{4}{3}.{\mathrm{\pi r}}^3=\frac{9{\mathrm{\pi a}}^3}{16} \end{gathered}$$