Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt (BCD). 

a, Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC. Tính độ dài đoạn AH.

b, Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

GIẢI 

$$\begin{gathered} a, Ta có AH\perp \left(BCD\right) và ABCD là tứ diện đều nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều BCD \left(vì HB=HC=HD\right) \\ Ta có BH=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3} \\ do đó AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \\ b, diện tích xung quanh hình trụ S_{xq}=2\mathrm{\pi rl} \\ \mathrm{ta} \mathrm{có} \mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}, \mathrm{l}=\mathrm{AH}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{3} \\ \mathrm{vậy} {\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=2\mathrm{\pi }\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}.\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{3}.\frac{2{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}}{3} \mathrm{và} \mathrm{V}={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{6}}{9} \end{gathered}$$