Hình chóp S.ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB,SC và tiếp xúc với ba cạnh AB,AC,CA tại trung điểm mỗi cạnh . Chứng minh rằng hình chóp đó là  hình chóp tam giác đều. 

giải 

$$\begin{gathered} Gọi M,N,P là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA là A\text{'}, B\text{'},C\text{'} là tiếp điểm của các cạnh bên SA,SB,SC . \\ ta có AM=AA\text{'} và BM=BB\text{'} mà AM=BM nên AA\text{'}=BB\text{'} \\ Mặt khác SA\text{'}=SB\text{'}=SC\text{'} nên SA=SB\text{'}=SC\text{'} nên SA=SB. Tương tự SB=SC nên chân đường cao kẻ từ S trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC.△ABC đều vì \\ AB=2BM=2BN=BC=2CN=2CP=CA. \\ Vậy S.ABC là hình chóp tam giác đều. \end{gathered}$$