Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 78 SGK Toán Giải Tích 12)

Bài 4 (Trang 78 SGK Toán Giải Tích 12): Vẽ đồ thị của các hàm số: a) y = logx; b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msub><mi mathvariant="normal">x</mi></math>. Hướng dẫn giải: a) Hàm số y = logx - Tập xác định: D = (0; +∞). - Chiều biến thiên: + Đạo hàm: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>.</mo><mi>ln</mi><mn>10</mn></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo>∀</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn></math> ⇒ Hàm số đồng biến trên D. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mi mathvariant="normal">y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mo>∞</mo><mo>;</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mi mathvariant="normal">y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> ⇒ x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + Bảng biến thiên: <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/14122022/bai-4-trand-78-sdk-diai-tich-12-5-Bcoq6f.jpg" /> - Đồ thị hàm số: + Đồ thị hàm số đi qua (1; 0) và (10; 1). <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/14122022/bai-4-trand-78-sdk-diai-tich-12-6-2xUV1f.jpg" /> b) Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msub><mi mathvariant="normal">x</mi></math> - Tập xác định: D = (0; +∞). - Chiều biến thiên: + Đạo hàm: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>xln</mi><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mo>∀</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">D</mi></math> Suy ra hàm số nghịch biến trên (0; +∞). + Giới hạn: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mi mathvariant="normal">y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>;</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mi mathvariant="normal">y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mo>∞</mo></math> Suy ra x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + Bảng biến thiên: <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/14122022/bai-4-trand-78-sdk-diai-tich-12-10-1-sSCmcW.jpg" /> - Đồ thị: + Đồ thị hàm số đi qua (1; 0) và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>;</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> <img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/14122022/bai-4-trand-78-sdk-diai-tich-12-16-sua2022-XtbFX1.jpg" /> Kiến thức áp dụng trong bài tập: <div class="note"> + Đạo hàm của hàm số y = logax: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfenced><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>.</mo><mi>ln</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></mfrac></math> + Với a > 0; a ≠ 1 và x > 0 ta có: đạo hàm của hàm số y = logax là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfenced><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>.</mo><mi>ln</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></mfrac></math> + Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị. + Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1; 0) và (a; 1). </div>