1. Hàm số mũ

a) Hàm số mũ là gì?

Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ của cơ số a.

b) Đạo hàm của hàm số mũ

Công thức được thừa nhận: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t - 1}{t} = 1$                     (1)

Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và $\mathit{\left(}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathit{\right)}\mathit{\text{'}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}$.

Ví dụ: Giả sử $∆x \mathrm{là} \mathrm{số} \mathrm{gia} \mathrm{của} \mathrm{x}, \mathrm{ta} \mathrm{có}: ∆y = e^{x+∆x} - e^x = e^x\left(e^{∆x}-1\right)$

Do vậy: $\frac{∆y}{∆x} = e^x\frac{e^{∆x}-1}{∆x}$

Áp dụng công thức (1), ta có: $\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{e^{∆x}-1}{∆x} = 1$

Từ đó suy ra: $y\text{'} = \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆y}{∆x} = e^x$

Lưu ý: Công thức đạo hàm của hàm số hợp đối với hàm số e^u (u = u(x)) là (e^u)' = u'.e^u.

ĐỊNH LÍ 2: Hàm số $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{a}}^{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{a}\mathbf{\ne }\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{ó}\mathbf{ }\mathit{đ}\mathit{ạ}\mathit{o}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{à}\mathit{m}\mathbf{ }\mathit{t}\mathit{ạ}\mathit{i}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{ọ}\mathit{i}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{à}\mathbf{ }\left(a^x\right)\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{a}}^{\mathbf{x}}\mathit{l}\mathit{n}\mathit{a}$

Ví dụ: Ta có $a^{\mathit{x}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }{e}^{\mathit{l}\mathit{n}{\mathit{a}}^{\mathit{x}}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }{e}^{\mathit{x}\mathit{.}\mathit{l}\mathit{n}\mathit{a}}$

Đặt u(x) = x.lna, theo Lưu ý trên, ta được: $\left(a^x\right)\text{'} = \left(e^{x\ln a}\right)\text{'} = e^{x\ln a}\left(x\ln a\right)\text{'} = a^x\ln a$

LƯU Ý: Với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)' = a^ulna.u'

c) Khảo sát hàm số mũ $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{a}}^{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{a}\mathbf{\ne }\mathbf{1}\mathbf{)}$

	y = ax (a > 1)	y = ax (0 < a < 1)
1. Tập xác định	R	R
2. Sự biến thiên	$y\text{'} = a^x\ln a > 0, \forall x$	$y\text{'} = a^x\ln a < 0 , \forall x$
Giới hạn đặc biệt	$\underset{x\to -\infty }{\mathrm{li}m}{a}^x=0, \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x = +\infty$	$\underset{x\to -\infty }{\mathrm{li}m}{a}^x=+\infty , \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x = 0$
Tiệm cận	Trục Ox là tiệm cận ngang	Trục Ox là tiệm cận ngang
3. Bảng biến thiên
4. Đồ thị

2. Hàm số Lôgarit

a) Hàm số lôgarit là gì?

Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1, hàm số y = log_ax được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Một số ví dụ: $y = {\log }_{3}x, y = {\log }_{\frac{1}{4}}x, y = {\log }_{\sqrt{3}}x, y = \ln x, y = \log x$

b) Đạo hàm của hàm số lôgarit

ĐỊNH LÍ 3: Hàm số $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{a}}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{a}\mathbf{\ne }\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{ó}\mathbf{ }\mathit{đ}\mathit{ạ}\mathit{o}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{à}\mathit{m}\mathbf{ }\mathit{t}\mathit{ạ}\mathit{i}\mathbf{ }\mathit{m}\mathit{ọ}\mathit{i}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{à}\mathbf{ }\left(lo{g}_{a}x\right)\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}\mathbf{l}\mathbf{n}\mathbf{a}}$

Đặc biệt: $\left(\ln x\right)\text{'} = \frac{1}{x}$

Lưu ý: Với hàm hợp y = log_au(x), ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'} = \frac{u\text{'}}{u\ln a}$

c) Khảo sát hàm số lôgarit $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{a}}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{a}\mathbf{\ne }\mathbf{1}\mathbf{)}$

	y = logax (a > 1)	y = logax (0 < a < 1)
1. Tập xác định	$\left(0;+\infty \right)$	$\left(0;+\infty \right)$
2. Sự biến thiên	$y\text{'} = \frac{1}{x\ln a} > 0, \forall x > 0$	$y\text{'} = \frac{1}{x\ln a} < 0, \forall x > 0$
Giới hạn đặc biệt	$\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{li}m}{\log }_{a}x=-\infty , \underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x = +\infty$	$\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{li}m}{\log }_{a}x=+\infty , \underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x = -\infty$
Tiệm cận	Trục Oy là tiệm cận đứng	Trục Oy là tiệm cận đứng
3. Bảng biến thiên
4. Đồ thị