Bài 1 (Trang 9, SGK Giải Tích 12):

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) \mathrm{y} = 4 + 3\mathrm{x} - {\mathrm{x}}^2; \\ \mathrm{b}) \mathrm{y} = \frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3 + 3{\mathrm{x}}^2 - 7\mathrm{x} - 2; \\ \mathrm{c}) \mathrm{y} = {\mathrm{x}}^4 - 2{\mathrm{x}}^2 + 3; \\ \mathrm{d}) \mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{x}}^2 - 5. \end{gathered}$$

Hướng dẫn Giải:

a) TXD: D= R

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'} = 3 -2\mathrm{x} \\ \mathrm{y}\text{'} = 0 \iff 3 - 2\mathrm{x} = 0 \iff \mathrm{x} =\frac{3}{2} \iff \mathrm{y} = \frac{25}{4} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ; \frac{3}{2}\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2}; +\infty \right)$

b) TXD: D = R

$$\begin{gathered} y\text{'} = x^2 +6x - 7 \\ y\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}x = 1 \left(y= \frac{-17}{3}\right)\\ x = -7 \left(y = \frac{239}{3}\right)\end{array} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ; -7\right) \text{và} \left(1; +\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-7; 1\right)$

c) TXD: D = R

$\mathrm{y}\text{'} = 4{\mathrm{x}}^3 - 4\mathrm{x} = 4\mathrm{x}({\mathrm{x}}^2-1)$

$\mathrm{y}\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}\mathrm{x} = 0 \left(\mathrm{y} = 3\right)\\ \mathrm{x} = \pm 1 \left(\mathrm{y} = 2\right)\end{array} \iff [\begin{array}{c}\mathrm{y} = 3\\ \mathrm{y} = 2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-1; 0\right) \text{và }\left(1; +\infty \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ; -1\right) \text{và} \left(0; 1\right)$

d) TXD: D = R

$y\text{'} = -3x^2 + 2x = x(-3x +2)$

$\mathrm{y}\text{'} = 0 \iff [\begin{array}{l}\mathrm{x} = 0 \left(\mathrm{y} =-5\right)\\ \mathrm{x} = \frac{2}{3} \left(\mathrm{y} = -\frac{131}{27}\right)\end{array}\iff [ \begin{array}{c}\mathrm{y} = -5\\ \mathrm{y} = -\frac{131}{27}\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0; \frac{2}{3}\right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ; 0\right) \text{và} \left(\frac{2}{3}; +\infty \right)$