Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $\tan \left(x\right) >x \left(0<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

b) $\tan \left(x\right) > x + \frac{x^3}{3} \left(0<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Hướng dẫn Giải:

a) Hàm số f(x) = tanx - x liên tục trên nữa khoảng $[ 0; \frac{\mathrm{\pi }}{2})$ và có đạo hàm 

f'(x) = $\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} - 1>0 \forall x \in \left(0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Do đó f(x) đồng biến trên $[ 0; \frac{\mathrm{\pi }}{2})$

Với 0 < x < $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ta có f(x) > f(0) = 0 $\Rightarrow$ tanx > x; $\forall x \in \left(0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

b) Hàm số g(x) = tanx - x - $\frac{x^3}{3}$ liên tục trên $[0; \frac{\mathrm{\pi }}{2})$ có đạo hàm

g'(x) = $\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}-1-x^2 = {\tan }^{2}x -x^2 = \left(\tan x-x\right)\left(\tan x+x\right) >0, \forall x \in \left(0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Do đó g đồng biến trên $[ 0; \frac{\mathrm{\pi }}{2})$

Với 0 < x <$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ta có g(x) > g(0) = 0 $\Rightarrow \tan x > x + \frac{x^3}{3}; \forall x \in \left( 0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$