Câu hỏi: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

a)$y = \frac{3x +1}{1 -x }$

b)$y = \frac{x^2 -2x}{1-x }$

c)$y = \sqrt{x^2 - x - 20}$

d)$y = \frac{2x}{x^2 - 9}$

Hướng dẫn Giải:

a) TXD: D = R \ {1}

$$\begin{gathered} y = \frac{3x + 1}{-x +1} \\ y\text{'} = \frac{\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right|}{{(1-x)}^2} = \frac{4}{{\left(1-x\right)}^2}>0, \forall x \ne 1 \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ; 1\right), \left(1; +\infty \right)$

b) $y = \frac{x^2 - 2x }{1 - x} = \frac{{\left(1-x\right)}^2-1}{1 - x} = 1-x +\frac{1}{x-1}$

TXD: D = R \ {1}

$y\text{'} = -1 - \frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}<0, \forall x \ne 1$

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ; 1\right), \left(1; +\infty \right)$

c) y xác định khi và chỉ khi $x^2 -x -20 \ge 0 \iff [\begin{array}{l}x \le -4\\ x \ge 5\end{array}$

TXD: D = $(-\infty ;-4] \cup [5; +\infty )$

$y\text{'} = \frac{2x -1}{2\sqrt{x^2 -x -20}}$

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ; -4\right)$, đồng biến trên khoảng $\left(5; +\infty \right)$

d) TXD: D = R \ {-3; 3}

$y\text{'} = \frac{2\left(x^2 - 9\right)-2x.2x}{{\left(x^2-9\right)}^2} = \frac{-2\left(x^2+9\right)}{\left(x^2-9\right)}<0; \forall x \ne \pm 3$

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-3\right), \left(-3;3\right), \left(3;+\infty \right)$