Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
<h3><strong>1. Hàm số đồng biến, nghịch biến là gì?</strong></h3>
<p>Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.</p>
<p>Cho hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> xác định trên K</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mo> </mo><mi>H</mi><mi>à</mi><mi>m</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>ố</mi><mo> </mo><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ồ</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>t</mi><mi>ă</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mfenced></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mo> </mo><mi>H</mi><mi>à</mi><mi>m</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>ố</mi><mo> </mo><mi>y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>h</mi><mi>ị</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mo> </mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>g</mi><mi>i</mi><mi>ả</mi><mi>m</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mfenced></math></p>
<h3><strong>2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu</strong></h3>
<p>Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K,</p>
<p>- Nếu f(x) đồng biến trên K thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>≥</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ọ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi></math></p>
<p>- Nếu f(x) nghịch biến trên K thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ọ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi></math></p>
<h3><strong>3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu</strong></h3>
<p>Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: </p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mo> </mo><mi>N</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>≥</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ọ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>ỉ</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>ạ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ộ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>ố</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>ữ</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>ạ</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>i</mi><mi>ể</mi><mi>m</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>u</mi><mi>ộ</mi><mi>c</mi><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ồ</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>K</mi><mspace linebreak="newline"/><mo>-</mo><mo> </mo><mi>N</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ọ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>ỉ</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>ạ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ộ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>ố</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>ữ</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>ạ</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>i</mi><mi>ể</mi><mi>m</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>u</mi><mi>ộ</mi><mi>c</mi><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>h</mi><mi>ị</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mo> </mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>K</mi><mspace linebreak="newline"/><mo>-</mo><mo> </mo><mi>N</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mi>ọ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>K</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo> </mo><mi>l</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>à</mi><mi>m</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>ằ</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>K</mi></math></p>
<h3><strong>4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số</strong></h3>
<p>Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau:</p>
<p><strong>- Bước</strong> <strong>1:</strong> Tìm tập xác định của hàm số</p>
<p><strong>- Bước 2:</strong> Tính đạo hàm f'(x) = 0 và tìm các điểm x<sub>i</sub> (với i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định</p>
<p><strong>- Bước 3:</strong> Sắp xếp các điểm x<sub>i</sub> theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên</p>
<p><strong>- Bước 4:</strong> Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn Giải Bài 1 (Trang 9, SGK Giải Tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 2 (Trang 10, SGK Giải Tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 3 (Trang 10, SGK Giải Tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 4 (Trang 10, SGK Giải Tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 5 (Trang 10, SGK Giải Tích 12)
Xem lời giải