1. Hàm số đồng biến, nghịch biến là gì?

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ xác định trên K

$- Hàm số y = f\left(x\right) đồng biến \left(tăng\right) trên K nếu \left\{\begin{array}{l}{x}_1,x_2 \in K\\ x_1 < x_2\end{array}\right.\Rightarrow f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$

$- Hàm số y = f\left(x\right) nghịch biến \left(giảm\right) trên K nếu \left\{\begin{array}{l}{x}_1,x_2 \in K\\ x_1 < x_2\end{array}\right.\Rightarrow f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)$

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K,

- Nếu f(x) đồng biến trên K thì $f\text{'}\left(x\right) \ge 0 với mọi x \in K$

- Nếu f(x) nghịch biến trên K thì $f\text{'}\left(x\right) \le 0 với mọi x \in K$

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: 

$$\begin{gathered} - Nếu f\text{'}\left(x\right) \ge 0 với mọi x \in K và f\text{'}\left(x\right) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f\left(x\right) đồng biến trên K \\ - Nếu f\text{'}\left(x\right) \le 0 với mọi x \in K và f\text{'}\left(x\right) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f\left(x\right) nghịch biến trên K \\ - Nếu f\text{'}\left(x\right) = 0 với mọi x \in K thì f\left(x\right) là hàm hằng trên K \end{gathered}$$

4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

- Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) = 0 và tìm các điểm x_i (với i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.