Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y=\frac{1}{x}$

a, Tại điểm $\left(\frac{1}{2};2\right)$

b, Tại điểm có hoành độ bằng -1 

c, Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\frac{-1}{4}$

Giải

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{△y}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x_0+△x}}-{\displaystyle \frac{1}{△x_0}}}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{-1}{x_0\left(x_0+△x\right)} =-\frac{1}{{x_0}^2}$

a, 

$$\begin{gathered} x_0=\frac{1}{2}; y_0=2 \\ f\text{'}\left(\frac{1}{2}\right)=-4 \\ Phương trình tiếp tuyến là : y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)\iff y=-4x+4 \\ b, Ta có x_0=-1 \Rightarrow y_0=-1 ; f\text{'}\left(-1\right)=-1 \\ Phương trình tiếp tuyến là y+1=-1\left(x+1\right)\iff -x-2 \\ c, f\text{'}\left(x_0\right) =-\frac{1}{4}\iff -\frac{1}{{x_0}^2}=-\frac{1}{4}\iff {x_0}^2=4\iff x_0=\pm 2 \\ Với x_0=2 ta có y_0=\frac{1}{2} \\ Phương trình tiếp tuyến là y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\left(x-2\right)\iff y=-\frac{1}{4}+1 \\ Với x_0=-2 ta có y_0=-\frac{1}{2} \\ Phương trình tiếp tuyến là y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\left(x+2\right)\iff y=-\frac{1}{4}-1 \end{gathered}$$