Chứng minh rằng hàm số$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x-1^2\right)& nếu x\ge 0\\ -x^2& nếu x<0\end{array}\right.$ không có đạo hàm tại x=0 nhưng có đạo hàm tại diểm x=2

Giải

Ta có 

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(x-1\right)}^2=1 và \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(-x\right)}^2=0 \\ Vậy hàm số y=f\left(x\right) gián đoạn tại x=0 . Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x=0 \\ Ta có \\ \underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+△x\right)-f\left(2\right)}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+△x\right)}^2-1^2}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\left(2+△x\right)=2 \\ vậy hàm số y=f\left(x\right) có đạo hàm tại x=2 và f\text{'}\left(2\right)=2 \end{gathered}$$