Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và

nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (h.44). Từ hình vuông $C_2$ lại làm tiếp như trên để

được hình vuông $C_3$, ... Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_1, C_2, C_3, ..., C_n, ...$

Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của hình vuông $C_n$. Chứng minh dãy số $\left(a_n\right)$ là một cấp số nhân.

Giải

Xét dãy $\left(a_n\right)$, với $a_1=4$. Giả sử hình vuông $C_n$ có độ dài là $a_n$. Hình vuông $C_{n+1}$ có độ dài cạnh $a_{n+1}$.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: 

$a_{n+1}=\sqrt{{\left(\frac{1}{4}{a}_n\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}{a}_n\right)}^2}=a_n.\frac{\sqrt{10}}{4}, \forall n\ge 1$                             

$\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{10}}{4}, \forall n\ge 1.$

Vậy dãy số ($a_n$) là cấp số nhân với $a_1=4$ và công bội $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$.