Tìm các số hạng của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có năm số hạng, biết:

a) $u_3=3 và u_5=27 ;$

b) $u_4-u_2=25$ và $u_3-u_1=50.$

Giải 

Áp dụng: $u_n=u_1.q^{n-1}$

a) Ta có: $u_3=u_1.q^2\Rightarrow u_1{q}^2=3$

              $u_5=u_1{q}^4\Rightarrow u_1{q}^4=27$

    Do đó $q^2=\left(u_1{q}^4\right):\left(u_1{q}^2\right)=9\Rightarrow q=\pm 3$

     Với $q=3$ ta có: $u_1=\frac{1}{3}$, ta có cấp số nhân: $\frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27$

     Với $q=-3$ ta có $u_1=\frac{1}{3}$, ta có cấp số nhân: $\frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27$

b) Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=25\\ u_3-u_1=50\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3-u_{1}q=25\\ u_1{q}^2-u_1=50\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_{1}q(q^2-1)=25 \left(1\right)\\ u_1(q^2-1)=50 \left(2\right) \end{array}\right.\right.\right.$

     Thay (2) vào (1), ta được $50.q=25\Rightarrow q=\frac{1}{2}$

     Từ (2) suy ra $u_1=\frac{50}{q^2-1}=\frac{50}{{\displaystyle \frac{1}{4}}-1}=-\frac{200}{3}$

     Ta có cấp số nhân: $-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$