Cho vectơ $\overrightarrow{v}$, đường thẳng d vuông góc với giá của $\overrightarrow{v}$. Gọi d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ$\frac{1}{2}\overrightarrow{v}$.

Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các

đường thẳng d và d'

Giải:

Lấy M tuỳ ý. Gọi ${Đ}_d\left(M\right) = M\text{'}, {Đ}_{d\text{'}}\left(M\text{'}\right) =M\text{'}\text{'}$

Gọi $M_0, M_1$ là giao điểm của d và d' với MM''

Ta có: $\overrightarrow{MM\text{'}\text{'}} = \overrightarrow{MM\text{'}} + \overrightarrow{M\text{'}M\text{'}\text{'}} = 2\overrightarrow{M_{0}M\text{'}} + 2\overrightarrow{M\text{'}{M}_1}$

                      $= 2\overrightarrow{M_0{M}_1 } = 2.\frac{1}{2}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$

Vậy $M\text{'}\text{'} = T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d'