Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 132 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau: a)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>4</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> b)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> Giải a) Xét hàm số f(x) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> ta có tập xác đinh: D=R =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>/</mo><mfenced open="{" close="}"><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mfenced><mo>∪</mo><mfenced><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced><mo>;</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced></math> Giả xử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub></math> là dãy số bất kì với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>></mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></math>; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo> </mo><mo> </mo><mi>k</mi><mi>h</mi><mi>á</mi><mi>c</mi><mo> </mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo> </mo><mo>→</mo><mn>4</mn><mo> </mo><mi>k</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></math> Ta có lim<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mo> </mo><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mfrac><mrow><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>.</mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>4</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></math>   =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>                        b) Hàm số f(x)  = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><msup><mn>5</mn><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> xác định trên R Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub></math> là dãy số bất kì, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo> </mo><mi>k</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo> </mo></math> Ta có lim <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><msubsup><mn>5</mn><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mi>x</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>2</mn><msubsup><mi>x</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mn>3</mn><msubsup><mi>x</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup></mfrac></mstyle></mrow></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></math> = -5