Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a)$\underset{x\to 4}{lim}\frac{x+1}{3x-2}$

b)$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2-5x^2}{x^2+3}$

Giải

a) Xét hàm số f(x) = $\frac{x+1}{3x-2}$ ta có tập xác đinh:

D=R =$/\left\{\frac{2}{3}\right\}\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right); x= 4\in \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$

Giả xử $x_n$ là dãy số bất kì với $x_n>\frac{2}{3}$; $x_n khác 4, x_n \to 4 khi n\to \infty$

Ta có lim$x_n= lim\frac{x_n+1}{3x_n-2}= \frac{4+1}{3.4 -2}= \frac{1}{2}$

Vậy $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x+1}{x+3}$   =$\frac{1}{2}$              

         b) Hàm số f(x)  = $\frac{2-5^2}{x^2+3}$ xác định trên R

Giả sử $x_n$ là dãy số bất kì, $x_n\to +\infty khi x_n\to +\infty$

Ta có lim $x_n=lim\frac{2-5_n^2}{x_n^2+ 3}=lim\frac{{\displaystyle \frac{2}{x_n^2}}-5}{1+{\displaystyle \frac{3}{x_n^2}}} =-5$

Vậy $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2-5x^2}{x^2+3}$ = -5